たいちのブログ

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最適な方法で問題を解決する

だいぶ前に食べた築地の海鮮丼です。ウニが半端なく美味しかったです。いくらも。

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今回もカッコつけたようなタイトルです。

 

まあ、中身はまた数学の内容なんですけどね。

 

 

今日の未明に、とってもナイスなブログがFacebookで公開され、多くの人が見ているようです。

zukeitanoshii.hatenablog.com

 

今回もその中から問題を抜粋して解いてみます。

 

 

2000年 算数オリンピック ファイナル 第4問です。

また小学生の問題相手にがっつり計算で応戦するという何とも大人気ない戦い方をしようとしたのですが、今回は前回とは全く計算量が比にならないほど鬼でした。その一部始終をお見せしましょう。(今回も図を借りました。ありがとう。)

あと、今回は図が多めです。覚悟して見ていってください。

 

 

前回同様、模範解答は下のリンクに載っています。

zukeitanoshii.hatenablog.com

 

【問題】

下の図のように三角形ABCの内部に正方形PQRSが内接している。AP=7cm、PB=6cm、AR=9cm、RC=2cm、BQ=QCを満たしている時、正方形PQRSの面積を求めよ。

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前回同様、問題の図を座標に落とし込みましょう。

また、AとQの座標を適当に設定しましょう。

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また、Cの座標はQの座標の2倍、Pの座標はAの座標の6/13倍なので、

下のようになります。

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さらに、Rの座標は、線分ACを9:2に分けるので、Rは下のようになります。
(ここは「線分を分ける 公式」で検索してください)

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上の図ですが、P座標やR座標が分数になってしまいました。

わざわざ自分で座標を設定したのに、これからの計算で分数まみれになったら元も子もありません。

なので、座標を設定し直して、分数を解消する必要があります。

これは、自分が受験時代に使っていたテクニックです。

①座標は全て整数になるように設定する

ちょくちょく自分が使っていたテクニックを書いていきますね。

(駆使しないと解ききれるものじゃなかったんですよね…)

 

 

てなわけで、

P座標よりaとbは13の倍数

R座標よりa,b,qは11の倍数となるので、

a→143a, b→143b, q→11qと置き換えると、

下のようになり、かなり綺麗な設定になります。

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さて、上のグラフを使って式を立てていきましょう。ここからも基本的には図での説明です。ここまで見てくれている人はそうそういないでしょう。

見てくれていたらありがとうございます。

ガンガンシェアしてください。

 

三平方の定理を使って、3つの式が立てられます。

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3つの式が立てられましたが、この3つの式から、a,b,qを出すのはかなり絶望的です。

ここまで解いて諦めかけました。

というか、本番でこんな解き方してたら制限時間が終わってしまいます。

(ここまでで20分経過、確かめるのに時間がかかった)

 

 

しかし、3つの式とも、共通している文字群が3つありました。

そこで、とりあえず面積を出してから考えることにしました。

そうすると、3つの式にあった共通している文字群が3つ出て来ました。(想定済み)

そこで、3つの文字群をそれぞれA,B,Cとして置き、計算することにしました。

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ここでまた一つテクニックです。

②ゴールに合わせて計算をする

当たり前のようで意外とできないことです。

 

下の図を見てください。

今回の式たちは真ん中に書かれたように、文字群と係数で構成されています。

それなのに、文字群をバラしてからもう一度文字群を計算するのは、京都から大阪へ向かうのに、「とりあえず東京へ行くぞ!」って言って一度東京へ出てから大阪に向かうのと同じです。それなら直接大阪へ向かうのが自然です。(この例えは…どこかで見たことがあるかもしれません)

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ここでもう一つテクニックを。

③無闇に数字を計算しない

頻出する数字はそのまま文字扱いにして計算することが無難です。

今回は11の2乗が頻出するのでこのまま変形せずに計算を進めていきましょう。

 

さて、ここからは計算のオンパレードです。

膨大な計算量をとくとご覧あれ。

 

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どうやら計算結果は合っているみたいです。

 

 

今回の問題も計算で解くことができました、がこの問題のおかげで1日潰れてしまいました。

 

やはり餅は餅屋、最適な方法で物事を解決することが一番ですね。

 

 

はい、かなり疲れました。

 

今日はおしまい。

 

次回はKyashのことについてですね。